Question

【題目】已知函數f（x）= ．
（1）求函數f（x）的定義域；
（2）判斷函數f（x）的奇偶性；
（3）求證：f（x）＞0．

Answer 1

【答案】
（1）解：由2x﹣1≠0得x≠0，∴函數f（x）的定義域為（﹣∞，0）∪（0，+∞）
（2）解：∵f（x）= =

∴f（﹣x）= =

∴函數f（x）為定義域上的偶函數．

（3）解：證明：當x＞0時，2x＞1

∴2x﹣1＞0，

∴ ，

∴ ＞0

∵f（x）為定義域上的偶函數

∴當x＜0時，f（x）＞0

∴f（x）＞0成立

【解析】（1）由分母不能為零得2x﹣1≠0求解即可．要注意定義域要寫成集合或區間的形式．（2）在（1）的基礎上，只要再判斷f（x）與f（﹣x）的關系即可，但要注意作適當的變形．（3）在（2）的基礎上要證明對稱區間上成立可即可．不妨證明：當x＞0時，則有2x＞1進而有2x﹣1＞0， 然后得到 ＞0．再由奇偶性得到對稱區間上的結論．