Question

設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組

1≤x+y≤4 y+2≥|2x-3|

．
（1）作出點(diǎn)（x，y）所在的平面區(qū)域并求出x²+y²的取值范圍；
（2）設(shè)m＞-1，在（1）所求的區(qū)域內(nèi)，求Q=y-mx的最值．

Answer 1

（1）將不等式去絕對(duì)值，化簡(jiǎn)為：

x+y≥1 x+y≤4 2x-y-5≤0 x≥ 3 2

或

x+y≥1 x+y≤4 2x+y-1≥0 x＜ 3 2

平面區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的四邊形DEFG及其內(nèi)部，其中D（-3，7），E（0，1），F(xiàn)（2，-1），G（3，1）；
由圖可知，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)（x，y）與點(diǎn)D（-3，7）重合時(shí)，
x²+y²達(dá)到最大值，最大值為OD²=9+49=58；
當(dāng)動(dòng)點(diǎn)（x，y）與原點(diǎn)在直線EF上的射影重合時(shí)，
x²+y²達(dá)到最小值，最小值為

1

2

∴x²+y²的取值范圍是[

1

2

，58]
（2）作直線l：Q=y-mx，則它的斜率k=m（k＞-1）
運(yùn)動(dòng)直線l，并觀察圖形可得：
①當(dāng)-1＜k≤2即-1＜m≤2時(shí)
平移l到經(jīng)過(guò)D點(diǎn)時(shí)，Q=y-mx值最大，Q_max=7+3m；
平移l到經(jīng)過(guò)F點(diǎn)時(shí)，Q=y-mx值最小Q_min=-1-2m
②當(dāng)k＞2，即m＞2時(shí)，
平移l到經(jīng)過(guò)D點(diǎn)時(shí)，Q=y-mx值最大，Q_max=7+3m
平移l到經(jīng)過(guò)G點(diǎn)時(shí)，Q=y-mx值最小Q_min=1-3m．