Question

當兩個向量

a

，

b

不共線時，求證：
（1）|

a

|-|

b

|＜|

a

+

b

|＜|

a

| + |

b

|；（2）|

a

|-|

b

|＜|

a

-

b

|＜|

a

| + |

b

|．

Answer 1

分析：（1）|如圖：設

a

=

OA

，

b

=

OB

，△ABC中，由AO-AC＜OC，可得 |

a

|-|

b

|＜|

a

+

b

|；
由 OC＜AO+AC 可得 |

a

+

b

|＜|

a

| + |

b

|．
（2）△AOB中，由OA-OB＜AB，可得 |

a

|-|

b

|＜|

a

-

b

|； 由AB＜OA+OB 可得 |

a

-

b

|＜|

a

| + |

b

|．

解答：證明：（1）|如圖所示：設

a

=

OA

，

b

=

OB

，以OA、OB為鄰邊作一個平行四邊形OACB，
則 

OC

=

a

+

b

，

BA

=

a

-

b

．△ABC中，∵AO-AC＜OC，∴|

a

|-|

b

|＜|

a

+

b

|．
∵OC＜AO+AC∴|

a

+

b

|＜|

a

| + |

b

|．
綜上，|

a

|-|

b

|＜|

a

+

b

|＜|

a

| + |

b

|  成立．
（2）△AOB中，∵OA-OB＜AB，∴|

a

|-|

b

|＜|

a

-

b

|，
∵AB＜OA+OB，∴|

a

-

b

|＜|

a

| + |

b

|，綜上，
有   |

a

|-|

b

|＜|

a

-

b

|＜|

a

| + |

b

|  成立．

點評：本題考查兩個向量的和差的運算及其幾何意義，三角形中，任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，
體現了數形結合的數學思想．