Question

已知a、b是兩個非零向量,當a+tb(t∈R)的模取最小值時,

(1)求t的值;

(2)已知a與b不共線,求證:b與a+tb垂直.

Answer 1

(1)解:令m=|a+tb|,a與b的夾角為θ,則

m²=|a+tb|²=|a|²+t²|b|²+2|a||b|cosθ·t=|b|²(t+cosθ)²+|a|²sin²θ.

∴當t=cosθ時,m_min=|a|sinθ.

(2)證明:b·(a+tb)=a·b+tb²=|a||b|cosθ-cosθ|b|²=|a||b|cosθ-|a||b|cosθ=0,

∴b與a+tb垂直.