Question

已知兩個不共線的向量

a

，

b

滿足

a

=(1，

3

)，

b

=(cosθ，sinθ)(θ∈R)，
（1）若2

a

-

b

與

a

-7

b

垂直，求向量

a

與

b

的夾角；
（2）當(dāng)θ∈[0，

π

2

]時(shí)，若存在兩個不同的θ使得|

a

+

3

b

|=|m

a

|成立，求正數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用條件2

a

-

b

與

a

-7

b

垂直，建立方程關(guān)系，先求

a

•

b

，然后求向量夾角．
（2）利用三角函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于θ的方程，結(jié)合三角函數(shù)的圖象進(jìn)行化簡求范圍．

解答：解：（1）∵2

a

-

b

與

a

-7

b

垂直，∴（2

a

-

b

）•（

a

-7

b

）=0，
即2

a

2+7

b

2-15

a

?

b

=0
∵

a

=(1，

3

)，

b

=(cosθ，sinθ)(θ∈R)，
∴|

a

|=2，|

b

|=1，
即2×22+7-15

a

?

b

=0，
解得

a

?

b

=1，
∴設(shè)向量

a

與

b

的夾角為θ，則cos?θ=

a ? b

| a |?| b |

=

1

2×1

=

1

2

，
∴θ=

π

3

．
（2）∵

a

=(1，

3

)，

b

=(cosθ，sinθ)(θ∈R)，
∴|

a

|=2，|

b

|=1，

a

?

b

=cos?θ+

3

sin?θ=2sin?(θ+

π

6

)，
由|

a

+

3

b

|=|m

a

|，得

a

2+2

3

a

?

b

+3

b

2=m2

a

2，
即4m2=7+4

3

sin?(θ+

π

6

)，
∵θ∈[0，

π

2

]，
∴

π

6

≤θ+

π

6

≤

2π

3

，
則要存在兩個不同的θ使得|

a

+

3

b

|=|m

a

|成立，
則

π

3

≤θ+

π

6

≤

2π

3

且θ+

π

6

≠

π

2

此時(shí)

3

2

≤sin?(θ+

π

6

)＜1，
∴13≤7+4

3

sin?(θ+

π

6

)＜7+4

3

，
即13≤4m2＜7+4

3

，
∴

13

4

≤m2＜

7+4 3

4

=(

2+ 3

2

)2，
∵m＞0，
∴

13

2

≤m＜

2+ 3

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查平面向量的數(shù)量積以及利用向量和三角函數(shù)之間的關(guān)系的化簡和求值，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．