Question

已知函數f（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…+

x2015

2015

，設F（x）=f（x+4），且函數F（x）的零點均在區間[a，b]（a＜b，a，b∈Z）內，圓x²+y²=b-a的面積的最小值是

 

．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用

專題：綜合題,函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：利用導數可判斷f（x）在R上是增函數，利用零點判定定理可知f（x）的零點在[-1，0]內，從而F（x）的零點在[-5，-4]內，于是可得b-a的最小值為1，進而可得答案．

解答： 解：f′(x)=1-x+x2-x3+…+x2014=

1+x2015

1+x

＞0（x≠-1，x≠0），
又f'（-1）=2015＞0，f'（0）=1＞0，
故f（x）在R上是增函數．
∵f（0）=1＞0，f（-1）＜0，
∴f（x）的零點在[-1，0]內，F（x）的零點在[-5，-4]內，b-a的最小值為1．
∴圓面積最小值為π．
故答案為：π．

點評：此題是難題．考查函數零點判定定理和利用導數研究函數的單調性以及數列求和問題以及函數圖象的平移，體現了分類討論的思想，以及學生靈活應用知識分析解決問題的能力