Question

設函數f（x）=lnx+x²-2ax，a∈R．
（Ⅰ）若函數f（x）在定義域內為增函數，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）設F（x）=f（x）+

1

2

a²，若F（m）=F（n）=0（其中0＜m＜n），且x₀=

m+n

2

，問：函數F（x）在（x₀，F（x₀））處的切線能否平行于x軸？若能，求出該切線方程；若不能，請說明理由．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）先將g（x）在（0，+∞）上遞增，轉化成f′（x）≥0對x∈（0，+∞）恒成立，最后根據基本不等式即可求出實數a的取值范圍；
（Ⅱ）對于能否問題，可先假設能，即設F（x）在（x₀，F（x₀））的切線平行于x軸，其中F（x）=f（x）+

1

2

a²，結合題意，列出方程組，
證得函數φ（t）=lnt-

2(t-1)

t+1

在（0，1）上單調遞增，最后出現矛盾，說明假設不成立，即切線不能否平行于x軸．

解答： 解：（1）∵f（x）=lnx+x²-2ax的定義域為（0，+∞），
∴f′（x）=

1

x

+2x-2a=

1+2x2-2ax

x

，x∈（0，+∞），
∵函數f（x）在定義域內為增函數，
∴1+2x²-2ax≥0在（0，+∞）恒成立，即2a≤2x+

1

x

在（0，+∞）恒成立，
∴2a≤（2x+

1

x

）_min，
∵x＞0，∴2x+

1

x

≥2

2

（當且僅當x=

2

2

時取等號）
∴2a≤（2x+

1

x

）_min=2

2

∴a≤

2

，
故實數a的取值范圍為（-∞，

2

]；
（Ⅱ）∵F（x）=f（x）+

1

2

a²=lnx+x²-2ax+

1

2

a²，
∴F′（x）=

1

x

+2x-2a．
假設函數F（x）在（x₀，F（x₀））處的切線平行于x軸，
∴F′（x₀）=

1

x0

+2x₀-2a=0         ①
將x₀=

m+n

2

代入①式得到

2

m+n

+m+n-2a=0      ②
∵F（m）=F（n）=0（其中0＜m＜n），
∴F（m）-F（n）=ln

m

n

+(m-n)(m+n-2a)=0        ③
將③代入②得到，In

m

n

=

2m-n

m+n

=

2( m n -1)

m n +1

(*) 
令t=

m

n

∈（0，1），則（*）式化為Int=

2(t-1)

t+1

．
設φ（t）=Int-

2(t-1)

t+1

（0＜t＜1）．
則φ′（t）=

1

t

-

2(t+1)-2(t-1)

(t+1)2

=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0，
∴φ（t）在（0，1）內單調遞減，∴φ（t）＜φ（1）=0，∴方程（*）無解．
故F（x）（x₀，F（x₀））處的切線不能平行于x軸．

點評：利用導數工具討論函數的單調性，是求函數的值域和最值的常用方法，同學們在做題的同時，可以根據單調性，結合函數的草圖來加深對題意的理解．