Question

【題目】設函數. 若曲線y=在點P(e,f(e))處的切線方程為y=2x-e（為自然對數的底數）.

（Ⅰ）求函數的單調區間；

（Ⅱ）若，試比較與的大小，并予以證明.

Answer 1

【答案】(1)詳見解析;(2) 當時，≥（當且僅當a=b時取等號）.

【解析】試題分析：（1）求出函數f（x）的解析式，求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；（2）等價于證明f（a）+f（b）﹣2f（）＞0，變形表達式為，構造函數，研究函數的單調性使得最小值大于0即可.

解析：

（Ⅰ）函數的定義域為.

.

依題意得，即

所以.

所以，.

當時, ; 當時, .

所以函數的單調遞減區間是, 單調遞增區間是.

（Ⅱ）當時，.

等價于，

也等價于

不妨設，

設（）,

則.

當時，，所以函數在上為增函數，

即，

故當時，（當且僅當時取等號）.

令，則，

即（當且僅當時取等號），

綜上所述，當時，≥（當且僅當a=b時取等號）.