Question

【題目】已知函數，.

（1）設，求的最小值；

（2）證明：當時，總存在兩條直線與曲線與都相切.

Answer 1

【答案】(1) x＝－1時，F(x)取得最小值F(－1)＝－ (2) 見解析

【解析】試題分析：（1）對函數求導，研究函數的單調性，得到最小值；（2）根據公切線的定義得到(t－1)et－1－t＋a＝0有兩個根即可，研究這個函數的單調性和圖像，得到這個圖像和x軸有兩個交點.

解析：

（Ⅰ）F(x)＝(x＋1)ex－1，

當x＜－1時，F(x)＜0，F(x)單調遞減；

當x＞－1時，F(x)＞0，F(x)單調遞增，

故x＝－1時，F(x)取得最小值F(－1)＝－．

（Ⅱ）因為f(x)＝ex－1，

所以f(x)＝ex－1在點(t，et－1)處的切線為y＝et－1x＋(1－t)et－1；

因為g(x)＝，

所以g(x)＝lnx＋a在點(m，lnm＋a)處的切線為y＝x＋lnm＋a－1，

由題意可得則(t－1)et－1－t＋a＝0．

令h(t)＝(t－1)et－1－t＋a，則h(t)＝tet－1－1

由（Ⅰ）得t＜－1時，h(t)單調遞減，且h(t)＜0；

當t＞－1時，h(t)單調遞增，又h(1)＝0，t＜1時，h(t)＜0，

所以，當t＜1時，h(t)＜0，h(t)單調遞減；

當t＞1時，h(t)＞0，h(t)單調遞增．

由（Ⅰ）得h(a－1)＝(a－2)ea－2＋1≥－＋1＞0，

又h(3－a)＝(2－a)e2－a＋2a－3＞(2－a)(3－a)＋2a－3＝(a－)2＋＞0，

h(1)＝a－1＜0，所以函數y＝h(t)在(a－1，1)和(1，3－a)內各有一個零點，

故當a＜1時，存在兩條直線與曲線f(x)與g(x)都相切．