Question

【題目】如圖1，在平行四邊形中，，，，、分別為、的中點，現把平行四邊形1沿折起如圖2所示，連接、、．

（1）求證：；

（2）若，求二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)

【解析】試題分析：（1）取的中點，連接，，，根據條件可得，為正三角形，則，，可得平面從而得證；

（2）由勾股定理可得，以為原點，以，，為軸建立空間直角坐標系，分別求得平面AB1C和平面A1B1A的法向量，由法向量求二面角的余弦即可，從而得正弦值.

試題解析：

證明：（1）取的中點，連接，，，

∵在平行四邊形中，，，，

、分別為、的中點，

∴，為正三角形，

則，，又∵，

∴平面，

∵平面

∴；

（2）∵，，，、分別為、的中點，

∴，，

∵，則，

則三角形為直角三角形，則，

以為原點，以，，為軸建立空間直角坐標系，

則，，，，

則

則，，，

設平面的法向量為，

則，

令，則，，

則，

設平面的法向量為，則，

令，則，，即，

則

∴二面角的正弦值是.