Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓過點A(2，1)，離心率為．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若直線與橢圓相交于B，C兩點(異于點A)，線段BC被y軸平分，且，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）由離心率知，橢圓過點A(2，1)，代入橢圓方程，可解得.(2)由題意可得直線BC一定過(0,0)點，即m=0, 設，代入橢圓方程得，又，即代入坐標運算可解得k.

試題解析：（Ⅰ）由條件知橢圓離心率為 ，

所以．

又點A(2，1)在橢圓上，

所以， 解得

所以，所求橢圓的方程為．

（Ⅱ）將代入橢圓方程，得，

整理，得． ①

由線段BC被y軸平分，得，

因為，所以．

因為當時， 關于原點對稱，設，

由方程①，得，

又因為，A(2，1)，

所以 ，

所以．

由于時，直線過點A(2，1)，故不符合題設．

所以，此時直線l的方程為．