Question

【題目】已知橢圓：的離心率為，且過點．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）已知橢圓的左焦點為，直線與橢圓交于不同兩點，（都在軸上方），且．

（ⅰ）若，求的面積；

（ⅱ）直線是否恒過定點？若過定點，求出該定點的坐標；若不過定點，請說明理由．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】（Ⅰ）由橢圓的離心率，可得．

所以，所以．

又因為點在橢圓上，

所以，即，解得，故．

∴橢圓的方程為． -----------------4分

（Ⅱ）橢圓的左焦點為．

（ⅰ）當時，．

故直線的方程為，直線的方程為，即．

由，消元得，解得或．

由題意可得，故點的坐標為．

由/span>，消元得，解得或．

由題意可得，故點的坐標為．

所以點到直線的距離．

而，所以的面積．--------------- 8分

（ⅱ）設直線方程為，，．

聯立方程組，消去，得，-------------10分

由根與系數的關系可得，．

所以

，

所以，即，

代入整理，，即． -----------------13分

所以直線的方程為，所以直線總過定點． -----------------14分

【命題意圖】本題考查橢圓的方程與性質、直線和橢圓的位置關系、三角形面積的求解以及定點的探究性問題，意在考查基本的邏輯推理能力、運算能力和數學應用意識等．