Question

已知橢圓的離心率，長(zhǎng)軸的左右端點(diǎn)分別為，．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)動(dòng)直線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且與直線相交于點(diǎn).問(wèn)在軸上是否存在定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）；（2）存在，

試題分析：（1）由已知，得，再根據(jù)離心率求，進(jìn)而求，進(jìn)而根據(jù)焦點(diǎn)位置求橢圓方程；（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，得關(guān)于的一元二次方程，由題意，列方程得，同時(shí)可求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再求，設(shè)軸上存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)，以為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)等價(jià)于，列方程得，由題意該方程與無(wú)關(guān)，故，從而求得點(diǎn)坐標(biāo)，本題還可以先從特殊值入手，確定定點(diǎn)的坐標(biāo)，再證明以為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)．
試題解析：（1）由已知    2分
，
橢圓的方程為；    4分
（2），消去，得，則，可得，設(shè)切點(diǎn)，則，，故，又由，得，設(shè)在上存在定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)，，即    10分
，
對(duì)滿(mǎn)足恒成立，
，
故在軸上存在定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn).  14分