Question

如圖，正三角形ABC的邊長為2，D、E、F分別在三邊AB，BC和CA上，且D為AB的中點(diǎn)，∠EDF=90°，∠BDE=θ（0°＜θ＜90°）．
（1）當(dāng)tan∠DEF=

3

2

時(shí)，求θ的大小；
（2）求△DEF的面積S的最小值及使得S取最小值時(shí)θ的值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,正弦定理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）在△BDE中，BD=1，B=60°，∠BED=120°-θ，利用正弦定理表示出DE，在△ADF中，利用正弦定理表示出DF，根據(jù)tan∠DEF的值，列表關(guān)系式，整理求出tanθ的值，即可確定出θ的大小；
（2）根據(jù)兩直角邊乘積的一半表示出三角形DEF面積S，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，整理后利用同角三角間基本關(guān)系變形，由正弦函數(shù)的值域即可確定出S的最小值以及使得S取最小值時(shí)θ的值．

解答： 解：（1）在△BDE中，由正弦定理

DE

sin60°

=

BD

sin(120°-θ)

得：DE=

BDsin60°

sin(120°-θ)

=

3

2sin(60°+θ)

，
在△ADF中，由正弦定理

DF

sin60°

=

AD

sin(30°+θ)

得：DF=

ADsin60°

sin(30°+θ)

=

3

2sin(30°+θ)

，
∵tan∠DEF=

3

2

，
∴

sin(60°+θ)

sin(30°+θ)

=

3

2

，整理得：tanθ=

3

，
則θ=60°；
（2）S=

1

2

DE•DF=

3

8sin(60°+θ)sin(30°+θ)

=

3

2( 3 cosθ+sinθ)(cosθ+ 3 sinθ)

=

3

2[ 3 (cos2θ+sin2θ)+4sinθcosθ]

=

3

2( 3 +2sin2θ)

，
當(dāng)θ=45°時(shí)，S取最小值

3

2( 3 +2)

=

6-3 3

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，三角形的面積公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．