Question

已知函數f（x）=（x²+2x）e^-x，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若f′（x）＞1，求證：f（x）＜1．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,導數的運算

專題：導數的綜合應用

分析：（1）利用導數即可求得函數的單調區間；
（2）由f′（x）＞1得（2-x²）e^-x＞1，即e^x＜2-x²，等價于x²+x-1＜x+1-e^x，
先證：x+1≤e^x，令g（x）=e^x-（x+1），利用導數即可證得g（x）≥g（0）=0，即x+1≤e^x，變形即可證得結論成立．

解答： 解：（1）∵f（x）=（x²+2x）e^-x，x∈R，
∴f′（x）=（2x+2）e^-x-（x²+2x）e^-x=（2-x²）e^-x，
∴由f′（x）＞0得-

2

＜x＜

2

，故f（x）在（-

2

，

2

）上是增函數，
由f′（x）＜0得x＜-

2

或x＞

2

，故f（x）在（-∞，-

2

），（

2

，+∞）上是減函數．
（2）由f′（x）＞1得（2-x²）e^-x＞1，即e^x＜2-x²，等價于x²+x-1＜x+1-e^x，
先證：x+1≤e^x，令g（x）=e^x-（x+1），有g′（x）=e^x-1，
當x＞0時，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上單調遞增；
當x＜0時，g′（x）＜0，g（x）在（-∞，0）上單調遞減；
∴g（x）≥g（0）=0，即x+1≤e^x，
∴x²+x-1＜x+1-e^x≤0，
∴x²+x-1＜0，由此得x²+2x＜x+1，
∴x²+2x＜x+1≤e^x，
∴（x²+2x）e^-x＜1，
即f（x）＜1．

點評：本題主要考查利用導數判斷函數的單調性及求函數最值問題，以及利用導數證明不等式成立問題，注意問題的轉化劃歸，屬中檔題．