Question

如圖，已知正方形ABCD和梯形ACEF所在平面互相垂直，AB=2，CE=2AF=2

2

，CE∥AF，AC⊥CE，

ME

=2

FM

．
（1）求證：CM∥平面BDF；
（2）求平面ADF與平面BDF的夾角的大小．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）可知CD、CB、CE兩兩垂直．建立如圖空間直角坐標系C-xyz．利用

CM

∥

OF

證出CM∥OF；
（2）先求出平面ADF與平面BDF的一個法向量，利用兩法向量的夾角求出二面角A-DF-B的大小．

解答： （1）證明：因為面ABCD⊥面ACEF，面ABCD∩面ACEF=AC，且AC⊥CE，
所以CE⊥面ABCD．
所以CD、CB、CE兩兩垂直．
可建立如圖空間直角坐標系C-xyz．
則（2，0，0），A（2，2，0），B（0，2，0），F（2，2，

2

），E（0，0，2

2

，O（1，1，0）
由

ME

=2

FM

，可求得M（

4

3

，

4

3

，

4

3

2

）
所以

CM

=（

4

3

，

4

3

，

4

3

2

），

OF

=（1，1，

2

）．
所以

CM

=

4

3

OF

所以

CM

∥

OF

，
所以CM∥OF；
（2）解：因為CD⊥平面ADF，所以平面ADF的法向量

CD

=（2，0，0）．
設平面BDF的法向量為

n

=（x，y，1），則

x-y=0 2x+ 2 =0

．
所以法向量

n

=（-

2

2

，

2

2

，1），
所以＜

CD

，

n

＞=

- 2

2× 2

=-

1

2

所以＜

CD

，

n

＞=

2π

3

，
由圖可知二面角A-DF-B為銳角，
所以求平面ADF與平面BDF的夾角的大小為

π

3

．

點評：本題考查直線和平面平行的判定，異面直線夾角，二面角的計算，利用了空間向量的方法．要注意相關點和向量坐標的準確性，及轉化時角的相等或互余關系．