Question

選修4-4：坐標系與參數方程．
極坐標系與直角坐標系xOy取相同的長度單位，以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸．已知直線l的參數方程為

x=2+tcosα y=tsinα

（t為參數）．曲線C的極坐標方程為ρsin²θ=8cosθ．
（1）求曲線C的直角坐標方程；
（2）設直線l與曲線C交于A，B兩點，與x軸的交點為F，求

1

|AF|

+

1

|BF|

的值．

Answer 1

（1）由曲線C的極坐標方程為ρsin²θ=8cosθ，可得ρ²sin²θ=8ρcosθ．
把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式可得y²=8x．
（2）由直線l的參數方程為

x=2+tcosα y=tsinα

，可得l與x軸的交點F（2，0）．
把直線l的方程代入拋物線方程可得（tsinα）²=8（2+tcosα），整理得t²sin²α-8tcosα-16=0，
由已知sinα≠0，△=（-8sinα）²-4×（-16）sinα＞0，
∴sinα≠0，cos²α+sinα＞0．
∴t1+t2=

8cosα

sin2α

，t1t2=-

16

sin2α

＜0．
故

1

|AF|

+

1

|BF|

=|

1

t1

-

1

t2

|=|

t1-t2

t1t2

|=

(t1+t2)2-4t1t2

|t1t2|

=

( 8cosα sin2α )2+ 64 sin2α

16 sin2α

=

1

2

．