Question

在平面直角坐標系xOy中，以O為極點，X軸的正半軸為極軸，取與直角坐標系相同的長度單位建立極坐標系．曲線C₁的參數方程為：

x=acosφ y=sinφ

（φ為參數）；射線C₂的極坐標方程為：θ=

π

4

，且射線C₂與曲線C₁的交點的橫坐標為

6

3

（I）求曲線C₁的普通方程；
（II）設A、B為曲線C₁與y軸的兩個交點，M為曲線C₁上不同于A、B的任意一點，若直線AM與MB分別與x軸交于P，Q兩點，求證|OP|．|OQ|為定值．

Answer 1

（Ⅰ）由于曲線C₁的參數方程為：

x=acosφ y=sinφ

（φ為參數），
利用同角三角函數的基本關系可得

x2

a2

+

y2

1

=1．
由于射線C₂的極坐標方程為：θ=

π

4

，故射線C₂的方程為 y=x （x≥0）．
把射線的方程代入

x2

a2

+

y2

1

=1可得 x²=

a2

a2+1

．
再由射線C₂與曲線C₁的交點的橫坐標為

6

3

，可得

a2

a2+1

=

6

9

，解得 a²=2，
故曲線C₁的普通方程為

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）由|OP|•|OQ|為定值．由（Ⅰ）可知曲線C₁為橢圓，不妨設A為橢圓C₁的上頂點，
設M（

2

cosθ，sinθ），P（x_P，0），Q（x_Q，0），因為直線MA與MB分別與x軸交于P、Q兩點，
所以K_AM=K_AP，K_BM=K_BQ，由斜率公式并計算得 x_P=

2 cosθ

1-sinθ

，x_Q=

2 cosθ

1+sinθ

，
所以|OP|•|OQ|=|x_P•x_Q|=2，可得|OP||OQ|為定值．