Question

【題目】設函數．

（1）討論的單調性；

（2）當時， ，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）．

【解析】試題分析：（1）根據，對字母a分類討論，求出函數的單調區間；（2）當時，分離參數，轉化為分別求的最小值，及的最大值，利用導數，求其最大值即可.

試題解析：（1）．

若，則，在單調遞增．若，當時， ；當時， ．于是在單調遞減，在單調遞增．

（2）方法1：當時， ，即

因為函數在單調遞增，所以．

設， ，當時， ， 單調遞增；當時， ， 單調遞減．故 ，所以．綜上， 的取值范圍為．

（2）方法2：設，則當時， ．

由，得．

，當時， ， 單調遞增，所以．

若，當時， ， 單調遞增，故．因為，所以．

若，由， ，知在存在唯一零點，設為，則．

當時， ， 單調遞減；當時， ， 單調遞增；故在有最小值，而．由得．

由（1）得在單調遞減，所以．

綜上， 的取值范圍為．