Question

【題目】已知橢圓C：（）的一個焦點為，點在C上.

（1）求橢圓C的方程；

（2）過點且斜率不為0的直線l與橢圓C相交于M，N兩點，橢圓長軸的兩個端點分別為，，與相交于點Q，求證：點Q在某條定直線上.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）橢圓C的兩焦點分別為，，由，可求得的值，結合橢圓的定義，可求得的值，再結合，可求出的值，進而可得到橢圓C的方程；

（2）設l方程為，聯立，消去得到關于的一元二次方程，設，，可表示出、的方程，聯立兩直線方程，并結合韋達定理，可證明點Q在某條定直線上.

（1）依題意，橢圓C的兩焦點分別為，，

則，

所以，即，

又，所以，

故橢圓C的方程為.

（2）設，，l的方程為，

聯立，得，

設，，則，

故，.

又的方程為，的方程為，

聯立兩直線方程得，

即，

因為，所以，

整理得.

故點Q在定直線上.