Question

【題目】如圖1，四邊形為直角梯形，，，，，為上一點，為的中點，且，，現將梯形沿折疊(如圖2)，使平面平面.

（1）求證：平面平面.

（2）能否在邊上找到一點(端點除外)使平面與平面所成角的余弦值為？若存在，試確定點的位置，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析.（2）存在點，為線段中點

【解析】

（1）根據線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，即可證得平面平面；

（2）以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解.

（1）在直角梯形中，作于于，連接，

則，，則，，

則，

在直角中，可得，

則，

所以，

故，且折疊后與位置關系不變.

又因為平面平面，且平面平面，

所以平面，

因為平面，所以平面平面.

（2）在中，由，為的中點，可得.

又因為平面平面，且平面平面，

所以平面，則以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，

則，，

設平面的法向量為，則 ，

令，可得平面的法向量為，

假設存在點使平面與平面所成角的余弦值為，且()，

∵，∴，故，

又，∴，

又由，

設平面的法向量為，可得，

令得，

∴，解得，

因此存在點且為線段中點時使平面與平面所成角的余弦值為.