Question

【題目】如圖， 是橢圓的右焦點， 是坐標原點， ，過作的垂線交橢圓于， 兩點， 的面積為.

（1）求該橢圓的標準方程；

（2）若直線與上下半橢圓分別交于點、，與軸交于點，且，求的面積取得最大值時直線的方程.

Answer 1

【答案】(1) .(2) .

【解析】試題分析：

(1)由題意列方程組可得， ，橢圓方程為.

(2)聯立直線與橢圓的方程，結合韋達定理可得的面積為： ，結合二次函數的性質可得的面積取得最大值時直線的方程是.

試題解析：

（1）由題意可得，將代入橢圓方程得，

即有的面積為，即，且，

解得， ，

即橢圓方程為.

（2）設，且，即.

直線： ，代入橢圓方程可得，

設， ，

則， ，

由，可得，

即有，代入韋達定理得，即有，即有，

則的面積為：

，

當，由圖示可得，此時， 的面積取得最大值，且為，

故所求直線方程為.