Question

已知函數
（1）求證：函數f（x）在點（e，f（e））處的切線橫過定點，并求出定點的坐標；
（2）若f（x）＜f₂（x）在區間（1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍；
（3）當時，求證：在區間（1，+∞）上，滿足f₁（x）＜g（x）＜f₂（x）恒成立的函數g（x）有無窮多個．

Answer 1

解：（1）因為，所以f（x）在點（e，f（e））處的切線的斜率為，
所以f（x）在點（e，f（e））處的切線方程為，
整理得，所以切線恒過定點．
（2）令＜0，對x∈（1，+∞）恒成立，
因為（*）
令p'（x）=0，得極值點x₁=1，，
①當時，有x₂＞x₁=1，即時，在（x₂，+∞）上有p'（x）＞0，
此時p（x）在區間（x₂，+∞）上是增函數，并且在該區間上有p（x）∈（p（x₂），+∞），不合題意；
②當a≥1時，有x₂＜x₁=1，同理可知，p（x）在區間（1，+∞）上，有p（x）∈（p（1），+∞），也不合題意；
③當時，有2a-1≤0，此時在區間（1，+∞）上恒有p'（x）＜0，
從而p（x）在區間（1，+∞）上是減函數；
要使p（x）＜0在此區間上恒成立，只須滿足，
所以．
綜上可知a的范圍是．
（3）當時，
記．
因為，所以y=f₂（x）-f₁（x）在（1，+∞）上為增函數，
所以，設，則f₁（x）＜R（x）＜f₂（x），
所以在區間（1，+∞）上，滿足f1（x）＜g（x）＜f2（x）恒成立的函數g（x）有無窮多個．
分析：（1）先求出導數，根據導數的幾何意義得出f（x）在點（e，f（e））處的切線的斜率為，從而寫出切線方程得出切線恒過定點；
（2）先令＜0，對x∈（1，+∞）恒成立，
利用導數求出p（x）在區間（1，+∞）上是減函數，從而得出：要使p（x）＜0在此區間上恒成立，只須滿足，由此解得a的范圍即可．
（3）當時，．
記．利用導數研究它的單調性，得出y=f₂（x）-f₁（x）在（1，+∞）上為增函數，最后得到滿足f₁（x）＜g（x）＜f₂（x）恒成立的函數g（x）有無窮多個．
點評：本題主要考查利用導數研究曲線上某點切線方程、導函數的正負與原函數的單調性之間的關系等，注意應用導數的性質：當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減．