Question

【題目】已知f（x）=ax3+bx2+c的圖象經過點（0，1），且在x=1處的切線方程是y=x．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求y=f（x）的單調遞增區間．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=ax3+bx2+c的圖象經過點（0，1），則c=1，

f′（x）=3ax2+2bx，f′（1）=3a+2b=1①，

切點為（1，1），則f（x）=ax3+bx2+c的圖象經過點（1，1），

得a+b+1=1②，聯立①②解得a=1，b=﹣1，

∴f（x）=x3﹣x2+1

（2）解：f′（x）=3x2﹣2x＞0得x＜0或x＞ ，

單調遞增區間為（﹣∞，0），（ ，+∞）

【解析】（1）由f（x）=ax3+bx2+c的圖象經過點（0，1），得c=1，由導數的幾何意義得f′（1）=3a+2b=1①，易求切點（1，1），代入函數解析式可得a+b+1=1②，聯立可解；（2）解不等式f′（x）＞0可得增區間，注意寫成區間形式；
【考點精析】掌握利用導數研究函數的單調性是解答本題的根本，需要知道一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．