Question

【題目】如圖，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面，平面ABCD∩平面ABPE=AB，且AB=BP=2，AD=AE=1，AE⊥AB，且AE∥BP． （Ⅰ）設點M為棱PD中點，求證：EM∥平面ABCD；
（Ⅱ）線段PD上是否存在一點N，使得直線BN與平面PCD所成角的正弦值等于 ？若存在，試確定點N的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）∵平面ABCD⊥平面ABEP，平面ABCD∩平面ABEP=AB，BP⊥AB ∴BP⊥平面ABCD，又AB⊥BC，
∴直線BA，BP，BC兩兩垂直，
以B為原點，分別以BA，BP，BC為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系．
則P（0，2，0），B（0，0，0），D（2，0，1），E（2，1，0），C（0，0，1），∴M（1，1， ），
∴ =（﹣1，0， ）， =（0，2，0）．
∵BP⊥平面ABCD，∴ 為平面ABCD的一個法向量，
∵ =﹣1×0+0×2+ =0，
∴ ⊥ ．又EM平面ABCD，
∴EM∥平面ABCD．
（Ⅱ）解：當點N與點D重合時，直線BN與平面PCD所成角的正弦值為 ．
理由如下：
∵ =（2，﹣2，1）， =（2，0，0），
設平面PCD的法向量為 =（x，y，z），則 ．
令y=1，得 =（0，1，2）．
假設線段PD上存在一點N，使得直線BN與平面PCD所成角α的正弦值等于 ．
設 =λ =（2λ，﹣2λ，λ）（0≤λ≤1），∴ = + =（2λ，2﹣2λ，λ）．
∴|cos＜ ， ＞|= = ．
∴9λ2﹣8λ﹣1=0，解得λ=1或 （舍去）．
∴當N點與D點重合時，直線BN與平面PCD所成角的正弦值等于 ．

【解析】（I）證明BP⊥平面ABCD，以B為原點建立坐標系，則 為平面ABCD的法向量，求出 =﹣1×0+0×2+ =0，從而有EM∥平面ABCD；（II）假設存在點N符合條件，設 =λ ，求出 ，平面PCD的法向量 的坐標，令|cos＜ ， ＞|= = 解出λ，根據λ的值得出結論．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．