Question

已知函數f（x）=

x-k+2

x2+1

，若存在實數m∈[-1，1]，使得f（m）=1，則實數k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數的值域

專題：函數的性質及應用

分析：原命題等價于k=-m²+m+1在m∈[-1，1]的值域，由二次函數的區間最值可得．

解答： 解：由題意可得存在實數m∈[-1，1]，使得f（m）=

m-k+2

m2+1

=1，
變形可得k=-m²+m+1=-（m-

1

2

）²+

5

4

，
可看作關于m的二次函數，開口向下，
故當m∈[-1，

1

2

]時，關于m的函數單調遞增，
當m∈[

1

2

，1]時，關于m的函數單調遞減，
由對稱性可知當m=

1

2

時，k取最大值

5

4

，
當m=-1時，k取最小值-1，
故實數k的取值范圍為[-1，

5

4

]
故答案為：[-1，

5

4

]

點評：本題考查二次函數的區間最值，屬基礎題．