Question

已知函數f（x）=|x+1|+|x-3|．
（1）求不等式f（x）＜6的解集；
（2）若關于x的方程f（x）=|a-2|有解，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應用

分析：（1）原不等式等價于

x＜-1 -(x+1)-(x-3)＜6

或

-1≤x≤3 (x+1)-(x-3)＜6

或

x＞3 (x+1)+(x-3)＜6

＜0，分別解每一個不等式，最后取其并集即可；
（2）利用絕對值不等式可得f（x）=|x+1|+|x-3|≥|x+1-x-3|=4，依題意，解不等式|a-2|≥4即可求得實數a的取值范圍．

解答： 解：（1）原不等式等價于

x＜-1 -(x+1)-(x-3)＜6

或

-1≤x≤3 (x+1)-(x-3)＜6

或

x＞3 (x+1)+(x-3)＜6

＜0…（3分）
解得-2＜x＜-1或-1≤x≤3或3＜x＜4，
故原不等式的解集為{x|-2＜x＜4}．…（5分）
（2）∵f（x）=|x+1|+|x-3|≥|x+1-x-3|=4．…（7分）
又關于x的方程f（x）=|a-2|有解，
∴|a-2|≥4，即a-2≥4或a-2≤-4，解得a≥6或a≤-2，…（9分）
所以實數a的取值范圍為a≥6或a≤-2．…（10分）

點評：本題考查絕對值不等式的解法，考查分類討論思想與等價轉化思想的綜合運用，考查解不等式的能力，屬于中檔題．