Question

【題目】設(shè)橢圓M： 的離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù)，且內(nèi)切于圓。

（1）求橢圓M的方程；

（2）已知，是橢圓M的下焦點(diǎn)，在橢圓M上是否存在點(diǎn)P，使的周長最大？若存在，請(qǐng)求出周長的最大值，并求此時(shí)的面積；若不存在，請(qǐng)說明理由。

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

（1）雙曲線的離心率為，∴橢圓的離心率為

∵橢圓M內(nèi)切于圓得解。

（2）橢圓的焦點(diǎn)為，由橢圓的定義得：

的周長為

當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P在線段的延長線上時(shí)取等號(hào)。

∴在橢圓M上存在點(diǎn)P，使的周長取得最大值，

直線的方程為，由 ∵點(diǎn)P在線段的延長線上，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為，再求解的面積。

（1）∵雙曲線的離心率為，∴橢圓M的離心率為

∵橢圓M內(nèi)切于圓

得： 所求橢圓M的方程為 ．

（2）橢圓M的上焦點(diǎn)為，由橢圓的定義得：

的周長為

當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P在線段的延長線上時(shí)取等號(hào)。

∴在橢圓M上存在點(diǎn)P，使的周長取得最大值，

直線的方程為，由

∵點(diǎn)P在線段的延長線上，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為，

的面積。