Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為直角梯形，BC∥AD，AB⊥BC，∠ADC=45°，PA⊥平面ABCD，AB=AP=1，AD=3．

（1）求異面直線PB與CD所成角的大小；

（2）求點D到平面PBC的距離．

Answer 1

【答案】（1）； （2）見解析.

【解析】

（1）建立空間直角坐標系，利用向量法求異面直線PB與CD所成角大小．

（2）求出平面PBC的一個法向量，利用向量法的距離公式求點D到平面PBC的距離．

（1）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立如圖所示空間直角坐標系，

則P（0，0，1），B（1，0，0），C（1，2，0）D（0，3，0），

∴=（1，0，﹣1），=（﹣1，1，0），

設異面直線PB與CD所成角為θ，

則cosθ=,

所以異面直線PB與CD所成角大小為 ．

（2）設平面PBC的一個法向量為=（x，y，z），

=（1，0，﹣1），=（0，2，0），=（﹣1，1，0），

則，取x=1，得=（1，0，1），

∴點D到平面PBC的距離d=．