Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知圓的方程為，過點的直線與圓交于兩點，．

（1）若，求直線的方程；

（2）若直線與軸交于點，設，，，，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）當直線斜率不存在時，為直徑，長度不為，不成立.當直線斜率存在時，設出直線的斜截式方程，利用圓心到直線的距離以及弦長公式列方程，解方程求得直線的斜率，進而求得直線的方程.

（2）當直線斜率不存在時，求得的坐標，根據，，結合平面向量共線的坐標表示，求得的值，進而求得的值.當直線斜率存在時，設出直線的斜截式方程，求得點坐標，聯立直線的方程和圓的方程，寫出韋達定理，結合平面向量共線的坐標表示，求得的表達式，進而求得的值.

（1） 當直線的斜率不存在時，，不符合題意；

當直線的斜率存在時，設斜率為，則直線的方程為，

所以圓心到直線的距離，

因為，所以，解得，

所以直線的方程為．

（2） 當直線的斜率不存在時，不妨設，，，

因為，，所以，，

所以，，∴.

當直線的斜率存在時，設斜率為，則直線的方程為：，

因為直線與軸交于點，所以．直線與圓交于點，，設，，

由得，∴，，

因為，，所以，，

所以，，

所以，

綜上.