Question

（2012•湖北）某個實心零部件的形狀是如圖所示的幾何體，其下部是底面均是正方形，側面是全等的等腰梯形的四棱臺A₁B₁C₁D₁-ABCD，上不是一個底面與四棱臺的上底面重合，側面是全等的矩形的四棱柱ABCD-A₂B₂C₂D₂．
（1）證明：直線B₁D₁⊥平面ACC₂A₂；
（2）現需要對該零部件表面進行防腐處理，已知AB=10，A₁B₁=20，AA₂=30，AA₁=13（單位：厘米），每平方厘米的加工處理費為0.20元，需加工處理費多少元？

Answer 1

分析：（1）依題意易證AC⊥B₁D₁，AA₂⊥B₁D₁，由線面垂直的判定定理可證直線B₁D₁⊥平面ACC₂A₂；
（2）需計算上面四棱柱ABCD-A₂B₂C₂D₂的表面積（除去下底面的面積）S₁，四棱臺A₁B₁C₁D₁-ABCD的表面積（除去下底面的面積）S₂即可．

解答：解：（1）∵四棱柱ABCD-A₂B₂C₂D₂的側面是全等的矩形，
∴AA₂⊥AB，AA₂⊥AD，又AB∩AD=A，
∴AA₂⊥平面ABCD．連接BD，
∵BD?平面ABCD，
∴AA₂⊥BD，又底面ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，根據棱臺的定義可知，BD與B₁D₁共面，
又平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁，且平面BB₁D₁D∩平面ABCD=BD，平面BB₁D₁D∩平面A₁B₁C₁D₁=B₁D₁，
∴B₁D₁∥BD，于是由AA₂⊥BD，AC⊥BD，B₁D₁∥BD，可得AA₂⊥B₁D₁，AC⊥B₁D₁，又AA₂∩AC=A，
∴B₁D₁⊥平面ACC₂A₂；
（2）∵四棱柱ABCD-A₂B₂C₂D₂的底面是正方形，側面是全等的矩形，
∴S₁=S_{四棱柱上底面}+S_{四棱柱側面}
=( A2B2)2+4AB•AA₂
=10²+4×10×30
=1300（cm²）
又∵四棱臺A₁B₁C₁D₁-ABCD上下底面均是正方形，側面是全等的等腰梯形，
∴S₂=S_{四棱柱下底面}+S_{四棱臺側面}
=(A1B1)2+4×

1

2

（AB+A₁B₁）•h_{等腰梯形的高}
=20²+4×

1

2

（10+20）•

132-[ 1 2 (20-10)]2

=1120（cm²），
于是該實心零部件的表面積S=S₁+S₂=1300+1120=2420（cm²），
故所需加工處理費0.2S=0.2×2420=484元．

點評：本題考查直線與平面垂直的判定，考查棱柱、棱臺的側面積和表面積，著重考查分析轉化與運算能力，屬于中檔題．