Question

（2012•湖北模擬）對某校高一年級學生參加社區服務次數進行統計，隨機抽取M名學生作為樣本，得到這M名學生參加社區服務的次數根據此教據作出了頻數與頻率的統計表和頻率分布直方圖：

分組	頻數	頻率	獎品價值（元）
[10，25）	5	0.25	20
[15，20）	12	n	40
[20，25）	m	p	60
[25，30）	1	0.05	80
合計	M	1

（I）求出表中M，p及圖中a的值；
（Ⅱ）學校決定對參加社區服務的這M名學生進行表彰，對參加活動次數在[25，30），[20，25），[15，20），[10，15）區間的學生依次發放價值80元，60元、40元、20元的學習用品，在所取樣本中，任意取出2人，并設X為此二人所獲得用品價值之差的絕對值，求X的分布列與數學期望E（X）．

Answer 1

分析：（I）由題設知

5

M

=0.25，

12

M

=n，

m

M

=p，

1

M

=0.05，5+12+m+1=M，由此能求出表中M，p及圖中a的值．
（Ⅱ）所取出兩人所獲得學習用品價值之差的絕對值X可能為0元、20元、40元、60元，分別求出P（X=0），P（X=20），P（X=40），P（X=60）的值，由此能求出X的分布列和EX．

解答：解：（I）由題設知

5

M

=0.25，

12

M

=n，

m

M

=p，

1

M

=0.05，
∵5+12+m+1=M，
∴M=20，n=0.6，m=2，p=0.1，
∴[15，20]組的頻率與組距之比a為0.12．
（Ⅱ）所取出兩人所獲得學習用品價值之差的絕對值X可能為0元、20元、40元、60元，
則P（X=0）=

C 2 5 + C 2 12 + C 2 2

C 2 20

=

10+66+1

190

=

77

190

，
P（X=20）=

C 1 5 • C 1 12 + C 1 12 •  C 1 2 + C 1 2 • C 1 1

C 2 20

=

86

190

，
P（X=40）=

C 1 5 • C 1 2 + C 1 12 • C 1 1

C 2 20

=

22

190

，
P（X=60）=

C 1 5 • C 1 1

C 2 20

=

5

190

，
∴X的分布列為：

X	0	20	40	60
P	77 190	86 190	22 190	5 190

∴EX=0×

77

190

+20×

86

190

+40×

22

190

+60×

5

190

=

290

19

．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是歷年高考的必考題型．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．