Question

（2012•湖北）根據以往的經驗，某工程施工期間的將數量X（單位：mm）對工期的影響如下表：

降水量X	X＜300	300≤X＜700	700≤X＜900	X≥900
工期延誤天數Y	0	2	6	10

歷年氣象資料表明，該工程施工期間降水量X小于300，700，900的概率分別為0.3，0.7，0.9，求：
（I）工期延誤天數Y的均值與方差；
（Ⅱ）在降水量X至少是300的條件下，工期延誤不超過6天的概率．

Answer 1

分析：（I）由題意，該工程施工期間降水量X小于300，700，900的概率分別為0.3，0.7，0.9，結合某程施工期間的降水量對工期的影響，可求相應的概率，進而可得期延誤天數Y的均值與方差；
（Ⅱ）利用概率的加法公式可得P（X≥300）=1-P（X＜300）=0.7，P（300≤X＜900）=P（X＜900）-P（X＜300）=0.9-0.3=0.6，利用條件概率，即可得到結論

解答：（I）由題意，P（X＜300）=0.3，P（300≤X＜700）=P（X＜700）-P（X＜300）=0.7-0.3=0.4，P（700≤X＜900）=P（X＜900）-P（X＜700）=0.9-0.7=0.2，P（X≥900）=1-0.9=0.1
Y的分布列為

Y	0	2	6	10
P	0.3	0.4	0.2	0.1

∴E（Y）=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3
D（Y）=（0-3）²×0.3+（2-3）²×0.4+（6-3）²×0.2+（10-3）²×0.1=9.8
∴工期延誤天數Y的均值為3，方差為9.8；
（Ⅱ）P（X≥300）=1-P（X＜300）=0.7，P（300≤X＜900）=P（X＜900）-P（X＜300）=0.9-0.3=0.6
由條件概率可得P（Y≤6|X≥300）=

P(300≤X＜900)

P(X≥300)

=

0.6

0.7

=

6

7

．

點評：本題考查離散型隨機變量的均值與方差，考查條件概率，正確理解題意，求出概率是關鍵．