Question

【題目】設a，b是不相等的兩個正數，且blna﹣alnb=a﹣b，給出下列結論：①a+b﹣ab＞1；②a+b＞2；③ + ＞2．其中所有正確結論的序號是（ ）
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③

Answer 1

【答案】D
【解析】解：①由blna﹣alnb=a﹣b，得blna+b=alnb+a，即 = ，設f（x）= ，x＞0，
則f′（x）=﹣ =，
由f′（x）＞0得﹣lnx＞0，得lnx＜0，得0＜x＜1，
由f′（x）＜0得﹣lnx＜0，得lnx＞0，得x＞1，
即當x=1時，函數f（x）取得極大值，
則 = ，等價為f（a）=f（b），
則a，b一個大于1，一個小于1，
不妨設0＜a＜1，b＞1．
則a+b﹣ab＞1等價為（a﹣1）（1﹣b）＞0，
∵0＜a＜1，b＞1．∴（a﹣1）（1﹣b）＞0，則a+b﹣ab＞1成立，故①正確，
②由即 = ，
得 = ，
由對數平均不等式得 = ＞ ，
即lna+lnb＞0，即lnab＞0，
則ab＞1，
由均值不等式得a+b2，故②正確，
③令g（x）=﹣xlnx+x，則g′（x）=﹣lnx，
則由g′（x）＞0得﹣lnx＞0，得lnx＜0，得0＜x＜1，此時g（x）為增函數，
由g′（x）＜0得﹣lnx＜0，得lnx＞0，得x＞1，此時g（x）為減函數，
再令h（x）=g（x）﹣g（2﹣x），0＜x＜1，
則h′（x）=g′（x）+g′（2﹣x）=﹣lnx﹣lm（2﹣x）=﹣ln[x（2﹣x）]＞0，
則h（x）=g（x）﹣g（2﹣x），在0＜x＜1上為增函數，
則h（x）=g（x）﹣g（2﹣x）＜h（1）=0，
則g（x）＜g（2﹣x），
即g（ ）＜g（2﹣ ），
∵g（ ）= ﹣ ln = + lna= = ，
∴g（ ）=g（ ）
則g（ ）=g（ ）＜g（2﹣ ），
∵g（x）在0＜x＜1上為增函數，
∴ ＞2﹣ ，
即 + ＞2．
故③正確，
故選：D
①由blna﹣alnb=a﹣b得 = ，構造函數f（x）= ，x＞0，判斷a，b的取值范圍即可．
②由對數平均不等式進行證明，
③構造函數，判斷函數的單調性，進行證明即可．