Question

【題目】如圖，在直三棱柱 中，平面 側面 ，且 ．
（1）求證： ；
（2）若直線 與平面 所成角的大小為 ，求銳二面角 的大小．

Answer 1

【答案】
（1）如圖，取 的中點D，連接AD，

因為 ,所以 ,

由平面 ⊥側面 ,且平面 ，

得AD⊥平面 ，

又BC 平面 ，所以AD⊥BC，

因為三棱柱 是直三棱柱，則 ⊥底面ABC，

所以

又 ，從而BC⊥側面 ，又AB 側面 ，

故AB⊥BC.

（2）連接CD，由（1）可知AD⊥平面 ，則CD是AC在平面 內的射影，

∴∠ACD即為直線AC與平面 所成的角，則∠ACD=30°.

在等腰直角 中， ，且點D是 的中點，

∴ ,又 ，∠ACD=30°，∴AC= .

過點A作AE⊥ 于點E，連接DE，由（1）知AD⊥平面 ，則 ,又 ,

∴ ,

∴∠AED即為二面角 的一個平面角.

在直角△ 中， ，

又 ，

∴ ,

又二面角 為銳二面角，∴∠AED=60°，

即二面角 的大小為60°.

【解析】本小題主要考查線線垂直，線面垂直，二面角等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，并考查應用向量知識解決立體幾何問題的能力．
【考點精析】掌握直線與平面垂直的判定是解答本題的根本，需要知道一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．