Question

19．已知實數a，b，c滿足a²+b=lna，則（a-c）²+（b+c-2）²的最小值為（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． 8
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 根據距離公式可知（a-c）²+（b+c-2）²表示（a，b）到（c，-c+2）的距離的平方，而（a，b）在曲線y=lnx-x²上，（c，-c+2）在直線y=-x+2上，將問題轉為求y=lnx-x²的切線與y=-x+2的距離平方．

解答 解：∵a²+b=lna，∴b=lna-a²，
又（c，-c+2）在直線y=-x+2上，
∴（a-c）²+（b+c-2）²的最小值為曲線y=lnx-x²上的點到直線y=-x+2的最小距離的平方．
設直線y=-x+m與曲線y=lnx-x²相切，切點為（x₀，y₀），
則$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}=ln{x}_{0}-{{x}_{0}}^{2}}\\{{y}_{0}=-{x}_{0}+m}\\{\frac{1}{{x}_{0}}-2{x}_{0}=-1}\end{array}\right.$，解得x₀=1，y₀=-1，m=0，
∴直線y=-x與直線y=-x+2的距離為$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴（a-c）²+（b+c-2）²的最小值為2．
故選D．

點評 本題考查了利用導數研究曲線的切線性質、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．