Question

正△ABC的邊長為4，CD是AB邊上的高，E，F分別是AC和BC邊的中點，現將△ABC沿CD翻折成直二面角A—DC—B。
（I）試判斷直線AB與平面DEF的位置關系，并說明理由；
（II）求二面角E—DF—C的余弦值；
（III）在線段BC上是否存在一點P，使AP⊥DE？證明你的結論。

Answer 1

解法一：（Ⅰ）如圖：在中，由分別是和邊的中點，得，
又平面，平面．       ∴平面．  …………4分
（Ⅱ），∴是二面角的平面角，，得平面．
取的中點，連接，則，   ∴平面，過作于點，連接，則根據三垂線定理知，∴就是二面角的平面角．
在中，，，∴，．………8分
（Ⅲ）在線段上存在點，使，證明如下：
在線段上取點，使，過作與點，連，則平面，，于是有，在中，，；又∵是正三角形，∴，∴．………13分
法二：（Ⅰ）同解法一．

（Ⅱ）以點為坐標原點，直線分別為軸，建立空間直角坐標系，則，，，，．
顯然平面的一個法向量為，設平面的一個法向量為，則，即，令得，． ，所以二面角的余弦值為．
（Ⅲ）設，由，得． 又，，，；將代入上式，得，，所以在線段上存在點，使．

略