Question

（2011•湖北模擬）已知函數f （x）=（

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）^x-log₂x，正實數a，b，c是公差為負數的等差數列，且滿足f（a）f（b）f（c）＜0，若實數d是方程f （x）=0的一個解，那么下列四個判斷：①d＜a；②d＞b；③d＜c；④d＞c．其中有可能成立的個數為（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：f （x）=（

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）^x-log₂x是由y=(

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)x 和y=-log₂x兩個函數的復合函數，每個函數都是減函數，所以，復合函數f （x）=（

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）^x-log₂x為減函數．正實數a，b，c是公差為正數的等差數列，0＜c＜b＜a，f（a）f（b）f（c）＜0，則f（a）＜0，f（b）＜0，f（c）＜0，或者f（a）＜0，f（b）＞0，f（c）＞0，所以可能①②③④．

解答：解：f （x）=（

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）^x-log₂x是由y=(

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)x 和y=-log₂x兩個函數的復合函數，
每個函數都是減函數，
所以，復合函數f （x）=（

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）^x-log₂x為減函數．
∵正實數a，b，c是公差為負數的等差數列，
∴0＜c＜b＜a，
∵f（a）f（b）f（c）＜0，
則f（a）＜0，f（b）＜0，f（c）＜0，
或者f（a）＜0，f（b）＞0，f（c）＞0，
綜合以上兩種可能，
恒有 f（a）＜0．
∵實數d是方程f （x）=0的一個解，
∴f（d）=0，
∴f（a）＜f（d），∴a＞d，
而d與b，c的關系不確定，
∴①②③④均有可能成立．
故選D

點評：本題考查指數函數的圖象和性質，解題時要認真審題，仔細解答，注意函數的單調性的靈活運用．