Question

（2011•湖北模擬）已知三次曲線C：f （x）=x³+bx²+cx+d的圖象關于點A（1，0）中心對稱．
（1）求常數b的值及c與d的關系；
（2）當x＞1時，f （x）＞0恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由圖象關于A（1，0）對稱得f （x）+f（2-x）=0恒成立，即：（2b+b）x²-4（b+3）x+2d+2c+4b+8=0恒成立，則可得

2b+6=0 b+3=0 2d+2c+4b+8=0

，整理可得
（2）由f（x）＞0可得x³-3x²+cx+2-c＞0恒成立，x²-2x-2+c＞0恒成立，結合x＞1及二次函數的性質可求c的范圍

解答：（1）由圖象關于A（1，0）對稱得f （x）+f（2-x）=0恒成立
即：（2b+6）x²-4（b+3）x+2d+2c+4b+8=0恒成立
∴

2b+6=0 b+3=0 2d+2c+4b+8=0

∴

b=-3 d+c=2

…（6分）
（2）f（x）＞0得
x³-3x²+cx+2-c＞0恒成立
x³-3x²+2+（x-1）c＞0
即（x-1）（x²-2x-2）+c（x-1）＞0
∴x²-2x-2+c＞0恒成立
而x＞1時　　x²-2x-2+c＞-3+c≥0
∴c≥3…（12分）

點評：本題主要考查了函數的圖象關于點的對稱的性質：若函數的圖象關于（a，0）對稱，則f （x）+f（2a-x）=0恒成立，注意與關于直線x=a對稱的結論的不同（f（x）=f（2a-x））及函數的恒成立與函數最值的相互轉化．