Question

【題目】已知能表示成一個奇函數和一個偶函數的和.

（1）請分別求出與的解析式；

（2）記，請判斷函數的奇偶性和單調性，并分別說明理由.

（3）若存在，使得不等式能成立，請求出實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）.

【解析】

（1）由函數方程組可求與的解析式.

（2）利用奇函數的定義和函數單調性定義可證明為奇函數且為上的增函數.

（3）根據（2）中的結果可以得到在上有解，參變分離后利用換元法可求的取值范圍.

（1）由已知可得，則，

由為奇函數和為偶函數，上式可化為，

聯合，

解得.

（2）由（1）得定義域為，

①由，可知為上的奇函數.

②由，

設，則，

因為，故，，

故即，故在上單調遞增

（3）由為上的奇函數，

則等價于

，

又由在上單調遞增，則上式等價于，

即，

記，令，

可得，易得當時，即時，

由題意知，，故所求實數的取值范圍是.