Question

【題目】如圖，PQ為某公園的一條道路，一半徑為20米的圓形觀賞魚塘與PQ相切，記其圓心為O，切點為G．為參觀方便，現新修建兩條道路CA、CB，分別與圓O相切于D、E兩點，同時與PQ分別交于A、B兩點，其中C、O、G三點共線且滿足CA＝CB，記道路CA、CB長之和為．

（1）①設∠ACO＝，求出關于的函數關系式；②設AB＝2x米，求出關于x的函數關系式．

（2）若新建道路每米造價一定，請選擇（1）中的一個函數關系式，研究并確定如何設計使得新建道路造價最少．

Answer 1

【答案】（1）① 其中 ② 其中（2）當時，取得最小值，新建道路何時造價也最少

【解析】

(1) ①根據直角三角形得，即得，再根據直角三角形得，最后根據 得結果. ②根據三角形相似得 ，即得結果，(2) 選擇（1），利用導數求最值，即得結果.

解：（1）①在中，，所以，所以

在中，

所以 ，其中，

②設，則在中，由與相似得，,即，即，即，即即，化簡得， 其中

（2）選擇（1）中的第一個函數關系式研究.

令，得.

令,當時，，所以遞減；

當時，，所以遞增，所以當時，取得最小值，新建道路何時造價也最少