Question

已知數列{a_n}、{b_n}中，對任何正整數n都有：．a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+an-1b2+anb1=3n+1-2n-3
（1）若數列{a_n}是首項和公差都是1的等差數列，求證：數列{b_n}是等比數列；
（2）若數列{b_n}是等比數列，數列{a_n}是否是等差數列，若是請求出通項公式，若不是請說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+an-1b2+anb1=3n+1-2n-3
∴a1bn-1+a2bn-2+a3bn-3+…+an-2b2+an-1b1=3n-2(n-1)-3
∴a1bn+(a2-a1)bn-1+(a3-a2)bn-2+…+(an-1-an-2)b2+(an-an-1)b1=2•3n-2
∵數列{a_n}是首項和公差都是1的等差數列，
∴bn+bn-1+bn-2+…+b2+b1=2•3n-2
∴n≥3時b_n=4×3^n-1
又b₁=4，b₂=12也符合上式
∴b_n=4×3^n-1
∴

bn

bn-1

=3，
∴數列{b_n}是等比數列
（2）設數列{b_n}的公比為q．
∵a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+an-1b2+anb1=3n+1-2n-3①
∴(a1bn-1+a2bn-2+a3bn-3+…+an-2b2+an-1b1)q=(3n-2(n-1)-3)q②
②-①得：a_nb₁=3ⁿ⁺¹-2n-3-q3ⁿ+2q（n-1）+3q（n≥2）
q=3時，a_n=

4n

b1

；
又a₁=

4

b1

也符合上式，∴q=3時，a_n=

4n

b1

，∴數列{a_n}是等差數列；
q≠3時，數列{a_n}不是等差數列．