Question

【題目】已知函數（且）的零點是.

（1）設曲線在零點處的切線斜率分別為，判斷的單調性；

（2）設是的極值點，求證：.

Answer 1

【答案】（1）在單調遞增，在遞減（2）見解析

【解析】

（1）先求出函數的零點，，再利用導數的幾何意義可得關于的函數，再利用導數研究函數的單調性即可；

（2）對函數進行求導得，利用導數證明函數，不妨設，利用所證不等式，即可證得結論.

由題可知：函數的定義域為

（1）由，得，.

則，，

所以.

令.則，

所以當時，；當時，

故在單調遞增，在遞減.

（2），

又在，恒成立，

由題知為的極值點，

所以且在單調遞減，在單調遞增，

故為的極小值點.

令，

則

，

故，

因為，所以，所以在單調遞減，

所以

所以在單調遞減，所以

所以，

不妨設，

所以，又在單調遞減，在單調遞增，

所以，即.