Question

【題目】已知函數f（x）=f'（1）ex﹣1﹣f（0）x+ 的導數，e為自然對數的底數）g（x）= +ax+b（a∈R，b∈R）
（Ⅰ）求f（x）的解析式及極值；
（Ⅱ）若f（x）≥g（x），求 的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知得：f′（x）=f′（1）ex﹣1﹣f（0）+x，令x=1，得：f′（1）=f′（1）﹣f（0）+1，
即f（0）=1，
∵f（0）= ，
∴f′（1）=e，
從而f（x）=ex﹣x+ x2 ，
∴f′（x）=ex+x﹣1，
又f′（x）=ex+x﹣1在R遞增，且f′（0）=0，
∴當x＜0時，f′（x）＜0，x＞0時，f′（x）＞0，
故x=0為極值點，
∴f（0）= ；
（Ⅱ）f（x）≥ x2+ax+bh（x）=ex﹣（a+1）x﹣b≥0，
得：h′（x）=ex﹣（a+1），
①當a+1≤0時，h′（x）＞0，
故y=h（x）在x∈R上遞增，
x∈﹣∞時，h（x）→﹣∞與h（x）≥0矛盾，
②當a+1＞0時，h′（x）＞0，
∴x＞ln（a+1），h′（x）＜0，
∴x＜ln（a+1），
故x=ln（a+1）時，h（x）min=（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣b≥0，
即（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）≥b，
∴（a+1）b≤（a+1）2﹣（a+1）2ln（a+1），（a+1＞0），
令F（x）=x3﹣x2lnx（x＞0），則F′（x）=x（1﹣2lnx），
∴F′（x）＞0，解得：0＜x＜ ，F′（x）＜0，解得：x＞ ，
x= 時，F（x）max= ，
即當a= ﹣1，b= 時，
（a+1）b的最大值為 ，
∴ 的最大值為：
【解析】（Ⅰ）求出函數的導數，求出f′（1）=e，求出函數的導數，得到函數的單調性求出f（0）的值即可；（Ⅱ）令h（x）=ex﹣（a+1）x﹣b≥0，求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間，求出 的最大值即可．
【考點精析】通過靈活運用基本求導法則和函數的極值與導數，掌握若兩個函數可導，則它們和、差、積、商必可導；若兩個函數均不可導，則它們的和、差、積、商不一定不可導；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值即可以解答此題．