Question

【題目】某商場進行有獎促銷活動，顧客購物每滿500元，可選擇返回50元現金或參加一次抽獎，抽獎規則如下：從1個裝有6個白球、4個紅球的箱子中任摸一球，摸到紅球就可獲得100元現金獎勵，假設顧客抽獎的結果相互獨立．
（Ⅰ）若顧客選擇參加一次抽獎，求他獲得100元現金獎勵的概率；
（Ⅱ）某顧客已購物1500元，作為商場經理，是希望顧客直接選擇返回150元現金，還是選擇參加3次抽獎？說明理由；
（Ⅲ）若顧客參加10次抽獎，則最有可能獲得多少現金獎勵？

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因為從裝有10個球的箱子中任摸一球的結果共有 種，摸到紅球的結果共有 種，
所以顧客參加一次抽獎獲得100元現金獎勵的概率是 ．
（Ⅱ）設X表示顧客在三次抽獎中中獎的次數，
由于顧客每次抽獎的結果是相互獨立的，則X﹣B（3，0.4），
所以E（X）=np=3×0.4=1.2．
由于顧客每中獎一次可獲得100元現金獎勵，因此該顧客在三次抽獎中可獲得的獎勵金額的
均值為1.2×100=120元．
由于顧客參加三次抽獎獲得現金獎勵的均值120元小于直接返現的150元，
所以商場經理希望顧客參加抽獎．
（Ⅲ）設顧客參加10次抽獎摸中紅球的次數為Y．
由于顧客每次抽獎的結果是相互獨立的，則Y﹣B（10，0.4）．
于是，恰好k次中獎的概率為 ，k=0，1，…，10．
從而 ，k=1，2，…，10，
當k＜4.4時，P（Y=k﹣1）＜P（Y=k）；
當k＞4.4時，P（Y=k﹣1）＞P（Y=k），
則P（Y=4）最大．
所以，最有可能獲得的現金獎勵為4×100=400元．
于是，顧客參加10次抽獎，最有可能獲得400元的現金獎勵
【解析】（Ⅰ）因為從裝有10個球的箱子中任摸一球的結果共有 種，摸到紅球的結果共有 種，由此能求出顧客參加一次抽獎獲得100元現金獎勵的概率．（Ⅱ）設X表示顧客在三次抽獎中中獎的次數，由于顧客每次抽獎的結果是相互獨立的，則X﹣B（3，0.4），由此能求出商場經理希望顧客參加抽獎．（Ⅲ）設顧客參加10次抽獎摸中紅球的次數為Y．由于顧客每次抽獎的結果是相互獨立的，則Y﹣B（10，0.4）．恰好k次中獎的概率為 ，k=0，1，…，10．由此能求出顧客參加10次抽獎，最有可能獲得400元的現金獎勵．