Question

已知半徑為5的圓的圓心在軸上，圓心的橫坐標是整數，且與直線相切．
求：（1）求圓的方程；
（2）設直線與圓相交于兩點，求實數的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，是否存在實數，使得過點的直線垂直平分弦？
若存在，求出實數的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）（2）
（3）

試題分析：（1）設圓心為（）,利用直線與圓相切的位置關系，根據點到直線的距離公式列方程解得的值，從而確定圓的方程；
（2）直線與圓交于不同的兩點，利用圓心到直線的距離小于圓的半徑列不等式從而解出實數的取值范圍；
（3）根據圓的幾何性質，垂直平分弦的直線必過圓心，從而由兩點確定直線的斜率，進一步由兩直線垂直的條件確定實數的值.
試題解析：（1）設圓心為（）．
由于圓與直線相切，且半徑為，所以，，
即．因為為整數，故．
故所求的圓的方程是．
（2）直線即．代入圓的方程，消去整理，得
．由于直線交圓于兩點，
故，即，解得 ，或．
所以實數的取值范圍是．
（3）設符合條件的實數存在，由（2）得，則直線的斜率為，
的方程為，即．
由于垂直平分弦，故圓心必在上．
所以，解得．由于，
所以存在實數，使得過點的直線垂直平分弦.