Question

已知圓C：x²＋(y－3)²＝4，一動直線l過A(－1，0)與圓C相交于P、Q兩點，

M是PQ中點，l與直線m：x＋3y＋6＝0相交于N.
(1)求證：當l與m垂直時，l必過圓心C；
(2)當PQ＝2時，求直線l的方程；
(3)探索·是否與直線l的傾斜角有關？若無關，請求出其值；若有關，請說明理由．

Answer 1

（1）見解析（2）x＝－1或4x－3y＋4＝0.（3）－5

(1)證明：∵l與m垂直，且k_m＝－，
∴k_l＝3.又k_AC＝3，所以當l與m垂直時，l的方程為y＝3(x＋1)，l必過圓心C.
(2)解：①當直線l與x軸垂直時，易知x＝－1符合題意．②當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0.因為PQ＝2，所以CM＝＝1，則由CM＝＝1，得k＝，∴直線l：4x－3y＋4＝0.從而所求的直線l的方程為x＝－1或4x－3y＋4＝0.
(3)解：∵CM⊥MN，∴·＝(＋)·＝·＋·＝·.
①當l與x軸垂直時，易得N，則＝.又＝(1，3)，∴·＝·＝－5；②當l的斜率存在時，設直線l的方程為y＝k(x＋1)，則由
得N，則＝.
∴·＝·＝＝－5.
綜上，·與直線l的斜率無關，且·＝－5.
另解：連結CA并延長交m于點B，連結CM，CN，由題意知AC⊥m，又CM⊥l，∴四點M、C、N、B都在以CN為直徑的圓上，由相交弦定理，得·＝－|AM|·|AN|＝－|AC|·|AB|＝－5.