Question

已知曲線的方程為：（，為常數）.
（1）判斷曲線的形狀；
（2）設曲線分別與軸、軸交于點、（、不同于原點），試判斷的面積是否為定值？并證明你的判斷；
（3）設直線與曲線交于不同的兩點、，且，求曲線的方程.

Answer 1

（1）圓；（2）詳見解析；（3）.

試題分析：（1）在曲線的方程兩邊同時除以，并進行配方得到，從而得到曲線的具體形狀；（2）在曲線的方程中分別令與求出點、的坐標，再驗證的面積是否為定值；（3）根據條件得到圓心在線段的垂直平分線上，并且得到圓心與原點的連線與直線垂直，利用兩條直線斜率乘積為，求出值，并利用直線與圓相交作為檢驗條件，從而確定曲線的方程.
試題解析：（1）將曲線的方程化為，
可知曲線是以點為圓心，以為半徑的圓；
（2）的面積為定值.
證明如下：
在曲線的方程中令得，得點，
在曲線方程中令得，得點，
（定值）；
（3）圓過坐標原點，且，
圓心在的垂直平分線上，，，
當時，圓心坐標為，圓的半徑為，
圓心到直線的距離，
直線與圓相離，不合題意舍去，
，這時曲線的方程為.