Question

【題目】定義：若無窮數列滿足是公比為的等比數列，則稱數列為“數列”.設數列中

（1）若，且數列是“數列”，求數列的通項公式；

（2）設數列的前項和為，且，請判斷數列是否為“數列”，并說明理由；

（3）若數列是“數列”，是否存在正整數，使得？若存在，請求出所有滿足條件的正整數；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）是“數列”，證明見解析；（3）存在，；

【解析】

（1）計算，故是公比為1的等比數列，計算得到答案.

（2）是“”數列，化簡得到，即，得到證明.

（3）是公比為2的等比數列，，利用累加法得到，得到，計算得到答案.

（1）由題意可得，

由數列為“數列”可得，即，

則是公比為1的等比數列，即，

則是首項為1，公差為3的等差數列，；

（2）是“”數列，，

理由如下：時，由，可得，

兩式作差可得即，

則，兩式作差可得，即，

由，可得，則，

則對任意成立，則為首項是，公比為3的等比軟列，

則為數列；

（3）由是數列，可得是公比為2的等比數列，

即，則，由，可得，則，

則，

則，若正整數滿足，則，

由，則，則，

若，則，不滿足，

若，則，則，即，

則，則正整數，則；

因此存在滿足條件的.