Question

【題目】數列{an}的前n項和為Sn，若對任意正整數n，總存在正整數m，使得Sn＝am，則稱數列{an}為S數列．

（1）S數列的任意一項是否可以寫成其某兩項的差？請說明理由．

（2）①是否存在等差數列為S數列，若存在，請舉例說明；若不存在，請說明理由．

②是否存在正項遞增等比數列為S數列，若存在，請舉例說明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）S數列的任意一項都可以寫成其某兩項的差；證明見詳解（2）①存在a1＝kd，k∈Z，k≥﹣1滿足題意；②不存在，證明見詳解.

【解析】

（1）根據對新數列的定義，利用進行計算證明；

（2）①假設存在等差數列，根據數列的公差進行分類討論即可；

②用反證法證明，假設存在滿足題意的數列，結合數列的單調性，推出矛盾.

（1）∵數列{an}是S數列，

∴對任意正整數n，總存在正整數m，使得Sn＝am，

∴n≥2時，，

∴Sn﹣Sn﹣1＝am﹣ap，即an＝am﹣ap，

而n＝1時，S2＝aq，則a1＝aq﹣a2，

故S數列的任意一項都可以寫成其某兩項的差；

（2）①假設存在等差數列為S數列，設其首項為a1，公差為d，

（i）當d＝0時，若a1≠0，則對任意的正整數n，不

可能存在正整數m，使得Sn＝am，即na1＝a1；

（ii）當d＝0且a1＝0時，顯然滿足題意；

（iii）當d≠0時，由Sn＝am得，

，

故，

∵，n＝1時顯然存在m＝1滿足上式，

n＝2時，，

∴，

此時符合題意，

綜上，存在a1＝kd，k∈Z，k≥﹣1滿足題意；

②假設存在正項遞增等比數列為S數列，則a1＞0，q＞0，

∴對任意正整數n，總存在正整數m，使得Sn＝am，

∵

，

∴，即，

即am+1＜Sn+1＜am+2，

∵Sn+1∈{an}且{an}單調遞增，

顯然當n＞logq（q+1）﹣1時，不存在t∈N，使得Sn+1＝at，

這與S數列的定義矛盾．

故不存在正項遞增等比數列為S數列．